Câu hỏi 54
Cho $m, n$ là các số nguyên lớn hơn $1$, và cho $a_1, a_2, \dots, a_m$ là các số nguyên dương không vượt quá $n^m$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $b_1, b_2, \dots, b_m$ không vượt quá $n$ sao cho
$$
\text{gcd}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_m + b_m) \lt n,
$$
trong đó $\text{gcd}(x_1, x_2, \dots, x_m)$ ký hiệu ước chung lớn nhất của $x_1, x_2, \dots, x_m$.
$$
\text{gcd}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_m + b_m) \lt n,
$$
trong đó $\text{gcd}(x_1, x_2, \dots, x_m)$ ký hiệu ước chung lớn nhất của $x_1, x_2, \dots, x_m$.