Câu hỏi 40
Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta xét các dãy số $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ và $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{k}$ thỏa mãn $a_{0}=b_{0}=1$ và $a_{k}=b_{k}=n$, đồng thời với mỗi $i$ thỏa $1 \leq i \leq k$ thì $(a_{i}, b_{i})$ bằng $(1+a_{i-1}, b_{i-1})$ hoặc $(a_{i-1}, 1+b_{i-1})$. Với $1 \leq i \leq k$, xác định số
$$
c_{i}= \begin{cases}a_{i} & \text{ nếu } a_{i}=a_{i-1} \\ b_{i} & \text{ nếu } b_{i}=b_{i-1}\end{cases}
$$
Chứng minh rằng $c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{k}=n^{2}-1$.
$$
c_{i}= \begin{cases}a_{i} & \text{ nếu } a_{i}=a_{i-1} \\ b_{i} & \text{ nếu } b_{i}=b_{i-1}\end{cases}
$$
Chứng minh rằng $c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{k}=n^{2}-1$.