Câu hỏi 118
Ta gọi một đa giác không gian (đa giác trong không gian ba chiều) là **dạng lưới** nếu các cạnh của nó song song với các trục tọa độ.
a) Với một đa giác dạng lưới tùy ý, hai cạnh liên tiếp bất kỳ tạo thành một góc vuông nằm trong mặt phẳng $xy$, $yz$ hoặc $zx$. Chứng minh rằng số các góc thuộc ba loại này có cùng tính chẵn lẻ.
b) Một đa giác dạng lưới được gọi là đa giác dạng lưới nội tiếp nếu tồn tại một điểm trong không gian cách đều mọi đỉnh của đa giác. Chứng minh rằng nếu một lục giác không phẳng (tức là không tồn tại mặt phẳng nào chứa cả sáu đỉnh) thì nó là đa giác dạng lưới nội tiếp.
c) Có tồn tại một đa giác dạng lưới $2014$ cạnh với các đỉnh phân biệt mà có một mặt phẳng cắt mọi cạnh của nó tại một điểm trong (tức là một điểm khác hai đầu mút của cạnh) hay không?
d) $a$, $b$ và $c$ là ba số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng có thể tìm được ba điểm trong mặt phẳng có các khoảng cách đôi một bằng $a$, $b$ và $c$ khi và chỉ khi tồn tại một đa giác dạng lưới có $a$, $b$ và $c$ cạnh theo mỗi hướng trong ba hướng tọa độ.
a) Với một đa giác dạng lưới tùy ý, hai cạnh liên tiếp bất kỳ tạo thành một góc vuông nằm trong mặt phẳng $xy$, $yz$ hoặc $zx$. Chứng minh rằng số các góc thuộc ba loại này có cùng tính chẵn lẻ.
b) Một đa giác dạng lưới được gọi là đa giác dạng lưới nội tiếp nếu tồn tại một điểm trong không gian cách đều mọi đỉnh của đa giác. Chứng minh rằng nếu một lục giác không phẳng (tức là không tồn tại mặt phẳng nào chứa cả sáu đỉnh) thì nó là đa giác dạng lưới nội tiếp.
c) Có tồn tại một đa giác dạng lưới $2014$ cạnh với các đỉnh phân biệt mà có một mặt phẳng cắt mọi cạnh của nó tại một điểm trong (tức là một điểm khác hai đầu mút của cạnh) hay không?
d) $a$, $b$ và $c$ là ba số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng có thể tìm được ba điểm trong mặt phẳng có các khoảng cách đôi một bằng $a$, $b$ và $c$ khi và chỉ khi tồn tại một đa giác dạng lưới có $a$, $b$ và $c$ cạnh theo mỗi hướng trong ba hướng tọa độ.