Câu hỏi 117
a) Xét $n$ số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau, lớn hơn $1$, là $d_1, d_2, \dots, d_n$ và các số tự nhiên tùy ý $r_1, r_2, \dots, r_n$. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên $x$, $1 \le x \le 3^n$, thỏa mãn hệ các bất phương trình đồng dư sau:
$$
\begin{array}{l}
x \not\equiv r_1 \pmod{d_1} \\
x \not\equiv r_2 \pmod{d_2} \\
\vdots \\
x \not\equiv r_n \pmod{d_n}
\end{array}
$$
b) Với mỗi số thực $\epsilon \gt 0$, chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho với mỗi số tự nhiên $n \gt N$ và các số tự nhiên $d_1, d_2, \dots, d_n$ và $r_1, r_2, \dots, r_n$, trong đó các $d_i$ ($1 \le i \le n$) đôi một nguyên tố cùng nhau, hệ bất phương trình trên có nghiệm $x$ thỏa $1 \le x \le (2 + \epsilon)^n$.
$$
\begin{array}{l}
x \not\equiv r_1 \pmod{d_1} \\
x \not\equiv r_2 \pmod{d_2} \\
\vdots \\
x \not\equiv r_n \pmod{d_n}
\end{array}
$$
b) Với mỗi số thực $\epsilon \gt 0$, chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho với mỗi số tự nhiên $n \gt N$ và các số tự nhiên $d_1, d_2, \dots, d_n$ và $r_1, r_2, \dots, r_n$, trong đó các $d_i$ ($1 \le i \le n$) đôi một nguyên tố cùng nhau, hệ bất phương trình trên có nghiệm $x$ thỏa $1 \le x \le (2 + \epsilon)^n$.