Câu hỏi 86
Gọi $\mathbb{Z}_{ \gt 0}$ là tập các số nguyên dương. Xét một hàm $f: \mathbb{Z}_{ \gt 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{ \gt 0}$. Với mọi $m, n \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}$ ta viết $f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots))$. Giả sử $f$ có hai tính chất sau:
(i) Nếu $m, n \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}$ thì $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}$;
(ii) Tập $\mathbb{Z}_{ \gt 0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}\right\}$ là hữu hạn.
Chứng minh rằng dãy $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ tuần hoàn.
(i) Nếu $m, n \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}$ thì $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}$;
(ii) Tập $\mathbb{Z}_{ \gt 0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{ \gt 0}\right\}$ là hữu hạn.
Chứng minh rằng dãy $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ tuần hoàn.