Câu hỏi 146
Cho tam giác $ABC$ với $AB = 2$, $AC = 3$, $BC = 4$. Liên hợp đẳng giác của một điểm $P$, ký hiệu $P^*$, là điểm thu được khi cắt nhau các đường thẳng đối xứng của $PA$, $PB$, $PC$ lần lượt qua các đường phân giác của các góc $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.
Với một điểm $Q$ cho trước, ký hiệu $\mathfrak{K}(Q)$ là đường cong cubic phẳng duy nhất đi qua mọi điểm $P$ sao cho đường thẳng $PP^*$ chứa $Q$. Xét:
a. cubic M'Cay $\mathfrak{K}(O)$, trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$,
b. cubic Thomson $\mathfrak{K}(G)$, trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$,
c. cubic Napoleon-Feuerbach $\mathfrak{K}(N)$, trong đó $N$ là tâm đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$,
d. cubic Darboux $\mathfrak{K}(L)$, trong đó $L$ là điểm de Longchamps (điểm đối xứng của trực tâm qua điểm $O$),
e. cubic Neuberg $\mathfrak{K}(X_{30})$, trong đó $X_{30}$ là điểm ở vô cực trên đường thẳng $OG$,
f. đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$,
g. đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$, và
h. đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Hãy ước lượng $N$, số điểm nằm trên ít nhất hai trong tám đường cong này. Một ước lượng $E$ được $\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor$ điểm.
Với một điểm $Q$ cho trước, ký hiệu $\mathfrak{K}(Q)$ là đường cong cubic phẳng duy nhất đi qua mọi điểm $P$ sao cho đường thẳng $PP^*$ chứa $Q$. Xét:
a. cubic M'Cay $\mathfrak{K}(O)$, trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$,
b. cubic Thomson $\mathfrak{K}(G)$, trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$,
c. cubic Napoleon-Feuerbach $\mathfrak{K}(N)$, trong đó $N$ là tâm đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$,
d. cubic Darboux $\mathfrak{K}(L)$, trong đó $L$ là điểm de Longchamps (điểm đối xứng của trực tâm qua điểm $O$),
e. cubic Neuberg $\mathfrak{K}(X_{30})$, trong đó $X_{30}$ là điểm ở vô cực trên đường thẳng $OG$,
f. đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$,
g. đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$, và
h. đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Hãy ước lượng $N$, số điểm nằm trên ít nhất hai trong tám đường cong này. Một ước lượng $E$ được $\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor$ điểm.