Câu hỏi 49
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S_{n}$ là tập tất cả các hoán vị của $\{1,2,3, \ldots, n\}$. Với mỗi hoán vị $\pi \in S_{n}$, gọi $f(\pi)$ là số các cặp có thứ tự $(j, k)$ sao cho $\pi(j)\gt \pi(k)$ và $1 \leq j\lt k \leq n$. Ngoài ra, định nghĩa $g(\pi)$ là số các số nguyên dương $k \leq n$ sao cho $\pi(k) \equiv k \pm 1(\bmod n)$. Tính
$$
\sum_{\pi \in S_{999}}(-1)^{f(\pi)+g(\pi)}
$$
$$
\sum_{\pi \in S_{999}}(-1)^{f(\pi)+g(\pi)}
$$