Câu hỏi 147
Cho $p$ là một số nguyên tố cho trước. Với mỗi số nguyên tố $r$, ta định nghĩa hàm số như sau
$$
F(r) = \frac{(p^{r p} - 1)(p - 1)}{(p^r - 1)(p^p - 1)}
$$
1. Chứng minh rằng $F(r)$ là số nguyên dương với mọi số nguyên tố $r \neq p$.
2. Chứng minh rằng $F(r)$ và $F(s)$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên tố $r$ và $s$ sao cho $r \neq p$, $s \neq p$ và $r \neq s$.
3. Cố định một số nguyên tố $r \neq p$. Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $F(r)$ sao cho $p \mid q-1$ nhưng $p^2 \nmid q-1$.
$$
F(r) = \frac{(p^{r p} - 1)(p - 1)}{(p^r - 1)(p^p - 1)}
$$
1. Chứng minh rằng $F(r)$ là số nguyên dương với mọi số nguyên tố $r \neq p$.
2. Chứng minh rằng $F(r)$ và $F(s)$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên tố $r$ và $s$ sao cho $r \neq p$, $s \neq p$ và $r \neq s$.
3. Cố định một số nguyên tố $r \neq p$. Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $F(r)$ sao cho $p \mid q-1$ nhưng $p^2 \nmid q-1$.