Câu hỏi 62
Cho $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ là một ma trận khả nghịch, với các hàng $L_1, L_2, \dots, L_n$. Xét ma trận $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có các hàng $O, L_2, \dots, L_n$ và ma trận $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có các hàng $L_2, \dots, L_n, O$, trong đó $O$ ký hiệu một hàng mà mọi phần tử đều bằng không. Đặt $D = A^{-1} \cdot B$ và $E = A^{-1} \cdot C$. Chứng minh rằng:
a) $\operatorname{rank}(D) = \operatorname{rank}(D^2) = \dots = \operatorname{rank}(D^n);$
b) $\operatorname{rank}(E) \gt \operatorname{rank}(E^2) \gt \dots \gt \operatorname{rank}(E^n).$
a) $\operatorname{rank}(D) = \operatorname{rank}(D^2) = \dots = \operatorname{rank}(D^n);$
b) $\operatorname{rank}(E) \gt \operatorname{rank}(E^2) \gt \dots \gt \operatorname{rank}(E^n).$