Câu hỏi 59
a) Gọi $O$ là gốc của mặt phẳng phức và xét các điểm $A$ và $B$ có tọa vị phức lần lượt là $a$ và $b$. Chứng minh rằng $[OAB] = \frac{1}{4} |\bar{a}b - a\bar{b}|$, trong đó $[OAB]$ ký hiệu diện tích tam giác $OAB$.
b) Cho $ABC$ là một tam giác đều, $C$ là đường tròn ngoại tiếp của nó và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Nếu điểm $P$ nằm bên trong $C$, gọi $S(P)$ là diện tích của tam giác có độ dài các cạnh bằng khoảng cách từ $P$ đến các đỉnh của tam giác². Cho $P_1$ và $P_2$ là hai điểm phân biệt nằm bên trong $C$. Chứng minh rằng $S(P_1) = S(P_2)$ khi và chỉ khi $OP_1 = OP_2$.
²Sự tồn tại của tam giác như vậy là một kết quả nổi tiếng của nhà toán học người Romania **Dimitrie Pompeiu** (1873-1954).
b) Cho $ABC$ là một tam giác đều, $C$ là đường tròn ngoại tiếp của nó và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Nếu điểm $P$ nằm bên trong $C$, gọi $S(P)$ là diện tích của tam giác có độ dài các cạnh bằng khoảng cách từ $P$ đến các đỉnh của tam giác². Cho $P_1$ và $P_2$ là hai điểm phân biệt nằm bên trong $C$. Chứng minh rằng $S(P_1) = S(P_2)$ khi và chỉ khi $OP_1 = OP_2$.
²Sự tồn tại của tam giác như vậy là một kết quả nổi tiếng của nhà toán học người Romania **Dimitrie Pompeiu** (1873-1954).