Câu hỏi 58
Cho $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là một hàm số có các tính chất sau:
$$
\begin{aligned}
f(x+y) &\le f(x) + f(y), \\
f(tx + (1-t)y) &\le t f(x) + (1-t) f(y),
\end{aligned}
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ và $t \in [0, 1]$.
a) Chứng minh rằng với mọi $a \le b \le c \le d$ sao cho $d - c = b - a$, bất đẳng thức sau đúng
$$
f(b) + f(c) \le f(a) + f(d).
$$
b) Chứng minh rằng
$$
\begin{aligned}
f(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (n-2)(f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)) &\ge \\
&\ge \sum_{1 \le i \lt j \le n} f(x_i + x_j),
\end{aligned}
$$
với mọi $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$ và $x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}$.
$$
\begin{aligned}
f(x+y) &\le f(x) + f(y), \\
f(tx + (1-t)y) &\le t f(x) + (1-t) f(y),
\end{aligned}
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ và $t \in [0, 1]$.
a) Chứng minh rằng với mọi $a \le b \le c \le d$ sao cho $d - c = b - a$, bất đẳng thức sau đúng
$$
f(b) + f(c) \le f(a) + f(d).
$$
b) Chứng minh rằng
$$
\begin{aligned}
f(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (n-2)(f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)) &\ge \\
&\ge \sum_{1 \le i \lt j \le n} f(x_i + x_j),
\end{aligned}
$$
với mọi $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$ và $x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}$.