Câu hỏi 163
Với tập hữu hạn $A$ các số nguyên, kí hiệu $|A|$ là số phần tử của $A$, và kí hiệu $\Sigma(A)$ là tổng tất cả các phần tử của $A$. Cho $p$ là một số nguyên tố, và $A$ là một tập các số nguyên dương cho trước với $|A| \gt p$.
Gọi $N_{\text{chẵn}}$ là số tập con $B$ của $A$ sao cho $|B|$ chẵn và $\Sigma(B)$ chia hết cho $p$. Gọi $N_{\text{lẻ}}$ là số tập con $B$ của $A$ sao cho $|B|$ lẻ và $\Sigma(B)$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $N_{\text{lẻ}} - N_{\text{chẵn}}$ chia hết cho $p$.
Gọi $N_{\text{chẵn}}$ là số tập con $B$ của $A$ sao cho $|B|$ chẵn và $\Sigma(B)$ chia hết cho $p$. Gọi $N_{\text{lẻ}}$ là số tập con $B$ của $A$ sao cho $|B|$ lẻ và $\Sigma(B)$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $N_{\text{lẻ}} - N_{\text{chẵn}}$ chia hết cho $p$.