Câu hỏi 88
Với hai điểm $A = (x_1, y_1)$ và $B = (x_2, y_2)$ trong $\mathbb{R}^2$, khoảng cách của chúng có thể được định nghĩa là
$$
d(A, B) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.
$$
a) Đường trung trực của hai điểm trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm đó. Hãy xác định đường trung trực của hai điểm bất kỳ theo định nghĩa mới.
b) Đường tròn Apollonius của hai điểm trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm mà tỉ số khoảng cách của chúng đến hai điểm đó bằng một hằng số $m$ ($m \neq 1$). Hãy xác định đường tròn Apollonius của hai điểm bất kỳ theo định nghĩa mới.
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $l$ được định nghĩa là
$$
\min\{d(A, P) | P \in l\}.
$$
Trong hình học Euclid, parabol trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng. Hãy xác định parabol có hình dạng như thế nào theo định nghĩa mới.
d) Cho $ABC$ là một tam giác trong mặt phẳng, và $X_a$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho
$$
d(A, B) + d(B, X_a) = d(A, C) + d(C, X_a).
$$
Các điểm $X_b$ và $X_c$ được định nghĩa tương tự. Các đường thẳng $AX_a$, $BX_b$ và $CX_c$ có đồng quy hay không?
e) Có thể có vô số điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách đôi một giữa chúng đều là bình phương của các số tự nhiên hay không?
$$
d(A, B) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.
$$
a) Đường trung trực của hai điểm trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm đó. Hãy xác định đường trung trực của hai điểm bất kỳ theo định nghĩa mới.
b) Đường tròn Apollonius của hai điểm trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm mà tỉ số khoảng cách của chúng đến hai điểm đó bằng một hằng số $m$ ($m \neq 1$). Hãy xác định đường tròn Apollonius của hai điểm bất kỳ theo định nghĩa mới.
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $l$ được định nghĩa là
$$
\min\{d(A, P) | P \in l\}.
$$
Trong hình học Euclid, parabol trong mặt phẳng là quỹ tích các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng. Hãy xác định parabol có hình dạng như thế nào theo định nghĩa mới.
d) Cho $ABC$ là một tam giác trong mặt phẳng, và $X_a$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho
$$
d(A, B) + d(B, X_a) = d(A, C) + d(C, X_a).
$$
Các điểm $X_b$ và $X_c$ được định nghĩa tương tự. Các đường thẳng $AX_a$, $BX_b$ và $CX_c$ có đồng quy hay không?
e) Có thể có vô số điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách đôi một giữa chúng đều là bình phương của các số tự nhiên hay không?