Câu hỏi 84
Cho $f_1 : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ là một hàm số. Hàm $f_2$ được xây dựng từ $f_1$ sao cho với mỗi $k \in \mathbb{N}$, $f_2(k)$ là số lần $k$ xuất hiện trong tập giá trị của $f_1$, tức là $f_2(k)$ là số các số tự nhiên $n$ mà $f_1(n) = k$.
Giả sử tập giá trị của $f_1$ là sao cho $f_2$ có thể được xác định trên tất cả các số tự nhiên, tức là không số nào xuất hiện vô hạn lần hoặc không xuất hiện lần nào trong tập giá trị của $f_1$. Tương tự, hàm $f_3$ có thể được xây dựng từ hàm $f_2$ và do đó với mỗi số tự nhiên $i$, hàm $f_{i+1}$ có thể được xây dựng từ hàm $f_i$.
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $T$, tồn tại hàm $f_1$ sao cho với mỗi số tự nhiên $i$, $f_i$ xác định được và dãy $f_1, f_2, f_3, \dots$ tuần hoàn với chu kỳ $T$, tức là $T$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $f_{T+1} = f_1$.
b) Có tồn tại hàm $f_1$ sao cho với mỗi số tự nhiên $i$, $f_i$ xác định được và các hàm này đôi một khác nhau hay không?
Giả sử tập giá trị của $f_1$ là sao cho $f_2$ có thể được xác định trên tất cả các số tự nhiên, tức là không số nào xuất hiện vô hạn lần hoặc không xuất hiện lần nào trong tập giá trị của $f_1$. Tương tự, hàm $f_3$ có thể được xây dựng từ hàm $f_2$ và do đó với mỗi số tự nhiên $i$, hàm $f_{i+1}$ có thể được xây dựng từ hàm $f_i$.
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $T$, tồn tại hàm $f_1$ sao cho với mỗi số tự nhiên $i$, $f_i$ xác định được và dãy $f_1, f_2, f_3, \dots$ tuần hoàn với chu kỳ $T$, tức là $T$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $f_{T+1} = f_1$.
b) Có tồn tại hàm $f_1$ sao cho với mỗi số tự nhiên $i$, $f_i$ xác định được và các hàm này đôi một khác nhau hay không?