Câu hỏi 75
Xét "bảng cửu chương" $n \times n$ dưới đây. Các số ở cột đầu tiên nhân với các số ở hàng đầu tiên cho ta các số còn lại trong bảng.
| 1 | 2 | 3 | $\cdots$ | $n$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 4 | 6 | $\cdots$ | $2 n$ |
| 3 | 6 | 9 | $\cdots$ | $3 n$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ |
| $n$ | $2 n$ | $3 n$ | $\cdots$ | $n^{2}$ |
Ta tạo một đường đi từ ô góc trên bên trái đến ô góc dưới bên phải, mỗi bước luôn di chuyển một ô sang phải hoặc xuống dưới. Ví dụ, trong trường hợp $n=5$, đây là một đường đi như vậy, với tất cả các số trên đường đi được khoanh tròn:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
Nếu cộng các số được khoanh tròn trong ví dụ trên (kể cả ô xuất phát và ô kết thúc), ta được 93. Xét tất cả các đường đi có thể trên lưới $n \times n$:
a. Tổng nhỏ nhất có thể nhận được khi cộng các số dọc theo một đường đi như vậy là bao nhiêu? Biểu diễn câu trả lời theo $n$ và chứng minh nó đúng.
b. Tổng lớn nhất có thể nhận được khi cộng các số dọc theo một đường đi như vậy là bao nhiêu? Biểu diễn câu trả lời theo $n$ và chứng minh nó đúng.
| 1 | 2 | 3 | $\cdots$ | $n$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 4 | 6 | $\cdots$ | $2 n$ |
| 3 | 6 | 9 | $\cdots$ | $3 n$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ |
| $n$ | $2 n$ | $3 n$ | $\cdots$ | $n^{2}$ |
Ta tạo một đường đi từ ô góc trên bên trái đến ô góc dưới bên phải, mỗi bước luôn di chuyển một ô sang phải hoặc xuống dưới. Ví dụ, trong trường hợp $n=5$, đây là một đường đi như vậy, với tất cả các số trên đường đi được khoanh tròn:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
Nếu cộng các số được khoanh tròn trong ví dụ trên (kể cả ô xuất phát và ô kết thúc), ta được 93. Xét tất cả các đường đi có thể trên lưới $n \times n$:
a. Tổng nhỏ nhất có thể nhận được khi cộng các số dọc theo một đường đi như vậy là bao nhiêu? Biểu diễn câu trả lời theo $n$ và chứng minh nó đúng.
b. Tổng lớn nhất có thể nhận được khi cộng các số dọc theo một đường đi như vậy là bao nhiêu? Biểu diễn câu trả lời theo $n$ và chứng minh nó đúng.