Câu hỏi 57
Chào mừng đến với USAYNO, nơi mỗi câu hỏi có câu trả lời có/không. Hãy chọn một tập con bất kỳ trong sáu bài toán sau để trả lời. Nếu bạn trả lời $n$ bài và đúng tất cả, bạn sẽ nhận được $\max (0,(n-1)(n-2))$ điểm. Nếu có bất kỳ câu nào sai, bạn nhận 0 điểm.
Câu trả lời của bạn phải là một chuỗi sáu ký tự gồm 'Y' (có), 'N' (không) hoặc 'B' (bỏ trống). Ví dụ, nếu bạn nghĩ câu 1, 2 và 6 là 'có' còn câu 3 và 4 là 'không', bạn sẽ trả lời YYNNBY (và nhận 12 điểm nếu cả năm câu trả lời đều đúng, 0 điểm nếu có câu sai).
a. $a, b, c, d, A, B, C$ và $D$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a}{b}\gt\frac{A}{B}$ và $\frac{c}{d}\gt\frac{C}{D}$. Có nhất thiết đúng rằng $\frac{a+c}{b+d}\gt\frac{A+C}{B+D}$ không?
b. Có tồn tại các số vô tỉ $\alpha$ và $\beta$ sao cho dãy $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor\beta\rfloor,\lfloor 2 \alpha\rfloor+\lfloor 2 \beta\rfloor,\lfloor 3 \alpha\rfloor+\lfloor 3 \beta\rfloor, \ldots$ là một cấp số cộng không?
c. Với mỗi tập số nguyên tố $\mathbb{P}$, gọi $S_{\mathbb{P}}$ là tập các số nguyên mà mọi ước nguyên tố của chúng đều thuộc $\mathbb{P}$. Chẳng hạn $S_{\{2,3\}}=\left\{2^{a} 3^{b} \mid a, b \geq 0\right\}=\{1,2,3,4,6,8,9,12, \ldots\}$. Có tồn tại một tập hữu hạn các số nguyên tố $\mathbb{P}$ và các đa thức hệ số nguyên $P$ và $Q$ sao cho $\operatorname{gcd}(P(x), Q(y)) \in S_{\mathbb{P}}$ với mọi $x, y$ không?
d. Một hàm $f$ được gọi là P-đệ quy nếu tồn tại một số nguyên dương $m$ và các đa thức hệ số thực $p_{0}(n), p_{1}(n), \ldots, p_{m}(n)$ thỏa mãn
$$
p_{m}(n) f(n+m)=p_{m-1}(n) f(n+m-1)+\ldots+p_{0}(n) f(n)
$$
với mọi $n$. Có tồn tại một hàm P-đệ quy $f$ thỏa mãn $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{n^{\sqrt{2}}}=1$ không?
e. Có tồn tại một hàm không phải đa thức $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho $a-b$ chia hết $f(a)-f(b)$ với mọi số nguyên $a \neq b$ không?
f. Có tồn tại các hàm tuần hoàn $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(x)+g(x)=x$ với mọi $x$ không?
Câu trả lời của bạn phải là một chuỗi sáu ký tự gồm 'Y' (có), 'N' (không) hoặc 'B' (bỏ trống). Ví dụ, nếu bạn nghĩ câu 1, 2 và 6 là 'có' còn câu 3 và 4 là 'không', bạn sẽ trả lời YYNNBY (và nhận 12 điểm nếu cả năm câu trả lời đều đúng, 0 điểm nếu có câu sai).
a. $a, b, c, d, A, B, C$ và $D$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a}{b}\gt\frac{A}{B}$ và $\frac{c}{d}\gt\frac{C}{D}$. Có nhất thiết đúng rằng $\frac{a+c}{b+d}\gt\frac{A+C}{B+D}$ không?
b. Có tồn tại các số vô tỉ $\alpha$ và $\beta$ sao cho dãy $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor\beta\rfloor,\lfloor 2 \alpha\rfloor+\lfloor 2 \beta\rfloor,\lfloor 3 \alpha\rfloor+\lfloor 3 \beta\rfloor, \ldots$ là một cấp số cộng không?
c. Với mỗi tập số nguyên tố $\mathbb{P}$, gọi $S_{\mathbb{P}}$ là tập các số nguyên mà mọi ước nguyên tố của chúng đều thuộc $\mathbb{P}$. Chẳng hạn $S_{\{2,3\}}=\left\{2^{a} 3^{b} \mid a, b \geq 0\right\}=\{1,2,3,4,6,8,9,12, \ldots\}$. Có tồn tại một tập hữu hạn các số nguyên tố $\mathbb{P}$ và các đa thức hệ số nguyên $P$ và $Q$ sao cho $\operatorname{gcd}(P(x), Q(y)) \in S_{\mathbb{P}}$ với mọi $x, y$ không?
d. Một hàm $f$ được gọi là P-đệ quy nếu tồn tại một số nguyên dương $m$ và các đa thức hệ số thực $p_{0}(n), p_{1}(n), \ldots, p_{m}(n)$ thỏa mãn
$$
p_{m}(n) f(n+m)=p_{m-1}(n) f(n+m-1)+\ldots+p_{0}(n) f(n)
$$
với mọi $n$. Có tồn tại một hàm P-đệ quy $f$ thỏa mãn $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{n^{\sqrt{2}}}=1$ không?
e. Có tồn tại một hàm không phải đa thức $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho $a-b$ chia hết $f(a)-f(b)$ với mọi số nguyên $a \neq b$ không?
f. Có tồn tại các hàm tuần hoàn $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(x)+g(x)=x$ với mọi $x$ không?