Câu hỏi 168
Cho $a \in [0 ; 1]$. Định nghĩa dãy $\left(x_{n}\right)$ bởi
$x_{0} = a$ và $x_{n+1} = 1 - \left|1 - 2 x_{n}\right|$, với mọi $n \geq 0$.
Chứng minh rằng dãy $\left(x_{n}\right)$ tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó khi và chỉ khi $a$ là số hữu tỉ.
(Chú ý: ta nói $\left(x_{n}\right)$ tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó nếu tồn tại các số nguyên $T \gt 0$ và $n \geqslant 0$ sao cho $x_{k+T} = x_{k}$ với mọi $k \geqslant n$.)
$x_{0} = a$ và $x_{n+1} = 1 - \left|1 - 2 x_{n}\right|$, với mọi $n \geq 0$.
Chứng minh rằng dãy $\left(x_{n}\right)$ tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó khi và chỉ khi $a$ là số hữu tỉ.
(Chú ý: ta nói $\left(x_{n}\right)$ tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó nếu tồn tại các số nguyên $T \gt 0$ và $n \geqslant 0$ sao cho $x_{k+T} = x_{k}$ với mọi $k \geqslant n$.)