Câu hỏi 109
Cho $B = (-1,0)$ và $C = (1,0)$ là các điểm cố định trên mặt phẳng tọa độ. Một tập con khác rỗng, bị chặn $S$ của mặt phẳng được gọi là *đẹp* nếu
(i) có một điểm $T \in S$ sao cho với mọi điểm $Q \in S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$; và
(ii) với mọi tam giác $P_1P_2P_3$, tồn tại duy nhất một điểm $A \in S$ và một hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $\{1,2,3\}$ sao cho hai tam giác $ABC$ và $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập con đẹp phân biệt $S$ và $S'$ của tập $\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\}$ sao cho nếu $A \in S$ và $A' \in S'$ là các điểm được chọn duy nhất trong (ii), thì tích $BA \cdot BA'$ là một hằng số không phụ thuộc vào tam giác $P_1P_2P_3$.
(i) có một điểm $T \in S$ sao cho với mọi điểm $Q \in S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$; và
(ii) với mọi tam giác $P_1P_2P_3$, tồn tại duy nhất một điểm $A \in S$ và một hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $\{1,2,3\}$ sao cho hai tam giác $ABC$ và $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập con đẹp phân biệt $S$ và $S'$ của tập $\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\}$ sao cho nếu $A \in S$ và $A' \in S'$ là các điểm được chọn duy nhất trong (ii), thì tích $BA \cdot BA'$ là một hằng số không phụ thuộc vào tam giác $P_1P_2P_3$.