Câu hỏi 118
Một bộ $(n + 1)$ phần tử $(h_1, h_2, \dots, h_{n+1})$, trong đó với mọi $1 \le i \le n + 1$, $h_i(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là một đa thức $n$ biến với hệ số thực, được gọi là **tốt** nếu điều kiện sau được thỏa mãn.
Với mọi $n$ hàm số $f_1, f_2, \dots, f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, nếu với mọi $1 \le i \le n + 1$, $P_i(x) = h_i(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x))$ là một đa thức theo biến $x$, thì $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ là các đa thức.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại một bộ $(n+1)$ **tốt** $(h_1, h_2, \dots, h_{n+1})$ sao cho bậc của mỗi $h_i$ lớn hơn một.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \gt 1$ nào sao cho có một bộ $(n+1)$ **tốt** $(h_1, h_2, \dots, h_{n+1})$ mà mọi $h_i$ đều là đa thức đối xứng.
Với mọi $n$ hàm số $f_1, f_2, \dots, f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, nếu với mọi $1 \le i \le n + 1$, $P_i(x) = h_i(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x))$ là một đa thức theo biến $x$, thì $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ là các đa thức.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại một bộ $(n+1)$ **tốt** $(h_1, h_2, \dots, h_{n+1})$ sao cho bậc của mỗi $h_i$ lớn hơn một.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \gt 1$ nào sao cho có một bộ $(n+1)$ **tốt** $(h_1, h_2, \dots, h_{n+1})$ mà mọi $h_i$ đều là đa thức đối xứng.