Câu hỏi 100
Cho $n \ge 1$ là một số nguyên và xét tổng
$$
x = \sum_{k \ge 0} \binom{n}{2k} 2^{n-2k} 3^k = \binom{n}{0} 2^n + \binom{n}{2} 2^{n-2} \cdot 3 + \binom{n}{4} 2^{n-4} \cdot 3^2 + \dots
$$
Chứng minh rằng $2x - 1$, $2x$, $2x + 1$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp cũng là các số nguyên.
$$
x = \sum_{k \ge 0} \binom{n}{2k} 2^{n-2k} 3^k = \binom{n}{0} 2^n + \binom{n}{2} 2^{n-2} \cdot 3 + \binom{n}{4} 2^{n-4} \cdot 3^2 + \dots
$$
Chứng minh rằng $2x - 1$, $2x$, $2x + 1$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp cũng là các số nguyên.