Câu hỏi 91
Cho $p \geqslant 2$ là một số nguyên tố. Eduardo và Fernando chơi trò chơi sau, luân phiên nhau đi: ở mỗi nước, người chơi đến lượt chọn một chỉ số $i$ trong tập $\{0,1, \ldots, p-1\}$ chưa được ai trong hai người chọn trước đó, rồi chọn một phần tử $a_{i}$ của tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Eduardo đi trước. Trò chơi kết thúc khi tất cả các chỉ số $i \in\{0,1, \ldots, p-1\}$ đã được chọn. Khi đó số sau được tính:
$$
M=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j}
$$
Mục tiêu của Eduardo là làm cho số $M$ chia hết cho $p$, còn mục tiêu của Fernando là ngăn cản điều này.
Chứng minh rằng Eduardo có chiến lược thắng.
$$
M=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j}
$$
Mục tiêu của Eduardo là làm cho số $M$ chia hết cho $p$, còn mục tiêu của Fernando là ngăn cản điều này.
Chứng minh rằng Eduardo có chiến lược thắng.