Câu hỏi 83
Với hai tập hữu hạn bất kỳ $X$ và $Y$ gồm các số nguyên dương, ký hiệu $f_{X}(k)$ là số nguyên dương nhỏ thứ $k$ không thuộc $X$, và đặt
$$
X * Y = X \cup \{ f_{X}(y) : y \in Y \} .
$$
Cho $A$ là một tập gồm $a \gt 0$ số nguyên dương, và $B$ là một tập gồm $b \gt 0$ số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $A * B = B * A$ thì
$$
\begin{equation*}
\underbrace{A *(A * \cdots *(A *(A * A)) \ldots)}_{A \text{ xuất hiện } b \text{ lần }} = \underbrace{B *(B * \cdots *(B *(B * B)) \ldots)}_{B \text{ xuất hiện } a \text{ lần }} . \tag{U.S.A.}
\end{equation*}
$$
$$
X * Y = X \cup \{ f_{X}(y) : y \in Y \} .
$$
Cho $A$ là một tập gồm $a \gt 0$ số nguyên dương, và $B$ là một tập gồm $b \gt 0$ số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $A * B = B * A$ thì
$$
\begin{equation*}
\underbrace{A *(A * \cdots *(A *(A * A)) \ldots)}_{A \text{ xuất hiện } b \text{ lần }} = \underbrace{B *(B * \cdots *(B *(B * B)) \ldots)}_{B \text{ xuất hiện } a \text{ lần }} . \tag{U.S.A.}
\end{equation*}
$$