Câu hỏi 46
Cho $n \gt 1$ là một số nguyên dương và $a_1, a_2, \dots, a_n$ là một dãy gồm $n$ số nguyên dương. Đặt
$$
b_i = \left[ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{i-1} + a_{i+1} + \dots + a_n}{n-1} \right], \quad 1 \leq i \leq n.
$$
Gọi $f$ là ánh xạ sao cho $f(a_1, a_2, \dots, a_n) = (b_1, b_2, \dots, b_n)$.
a) Cho hàm số $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ được định nghĩa sao cho $g(1)$ là số phần tử khác nhau trong dãy $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ và $g(m)$ là số phần tử khác nhau trong dãy $f^m(a_1, a_2, \dots, a_n) = f(f^{m-1}(a_1, a_2, \dots, a_n)),\ m \gt 1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k_0$ sao cho với $m \geq k_0$ hàm $g(m)$ tuần hoàn.
b) Chứng minh rằng
$$
\sum_{m=1}^{k} \frac{g(m)}{m(m+1)} \lt C
$$
với mọi số nguyên dương $k$, trong đó hằng số $C$ không phụ thuộc vào $k$.
$$
b_i = \left[ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{i-1} + a_{i+1} + \dots + a_n}{n-1} \right], \quad 1 \leq i \leq n.
$$
Gọi $f$ là ánh xạ sao cho $f(a_1, a_2, \dots, a_n) = (b_1, b_2, \dots, b_n)$.
a) Cho hàm số $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ được định nghĩa sao cho $g(1)$ là số phần tử khác nhau trong dãy $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ và $g(m)$ là số phần tử khác nhau trong dãy $f^m(a_1, a_2, \dots, a_n) = f(f^{m-1}(a_1, a_2, \dots, a_n)),\ m \gt 1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k_0$ sao cho với $m \geq k_0$ hàm $g(m)$ tuần hoàn.
b) Chứng minh rằng
$$
\sum_{m=1}^{k} \frac{g(m)}{m(m+1)} \lt C
$$
với mọi số nguyên dương $k$, trong đó hằng số $C$ không phụ thuộc vào $k$.