Câu hỏi 154
Với số nguyên $n \gt 1$, xét $n$ đa thức bậc ba $P_{1}(x), \ldots, P_{n}(x)$ sao cho mỗi đa thức có 3 nghiệm thực phân biệt. Ký hiệu $S$ là tập nghiệm của phương trình
$$
P_{1}(x) P_{2}(x) P_{3}(x) \ldots P_{n}(x) = 0.
$$
Biết rằng với mọi $1 \leq i \lt j \leq n$, phương trình $P_{i}(x) P_{j}(x) = 0$ có 5 nghiệm thực phân biệt.
1. Chứng minh rằng nếu với mọi $a, b \in S$ có đúng một chỉ số $i \in \{1,2,3, \ldots, n\}$ sao cho $P_{i}(a) = P_{i}(b) = 0$ thì $n = 7$.
2. Chứng minh rằng nếu $n \gt 7$ thì $|S| = 2n + 1$.
$$
P_{1}(x) P_{2}(x) P_{3}(x) \ldots P_{n}(x) = 0.
$$
Biết rằng với mọi $1 \leq i \lt j \leq n$, phương trình $P_{i}(x) P_{j}(x) = 0$ có 5 nghiệm thực phân biệt.
1. Chứng minh rằng nếu với mọi $a, b \in S$ có đúng một chỉ số $i \in \{1,2,3, \ldots, n\}$ sao cho $P_{i}(a) = P_{i}(b) = 0$ thì $n = 7$.
2. Chứng minh rằng nếu $n \gt 7$ thì $|S| = 2n + 1$.