Câu hỏi 144
Cho $p$ là một số nguyên tố và một bảng kích thước $(p^{2}+p+1) \times (p^{2}+p+1)$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Một cách tô màu một số ô của bảng được gọi là đẹp nếu không có bốn ô được tô màu nào tạo thành một hình chữ nhật (các cạnh của hình chữ nhật song song với các cạnh của bảng).
1. Gọi $k$ là số ô được tô màu trong một cách tô đẹp nào đó. Chứng minh rằng $k \leq (p+1)(p^{2}+p+1)$. Kí hiệu số này là $k_{\text{max}}$.
2. Chứng minh rằng tất cả các bộ có thứ tự $(a, b, c)$ với $0 \leq a, b, c \lt p$ và $a+b+c\gt 0$ có thể được phân hoạch thành $p^{2}+p+1$ tập $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{p^{2}+p+1}$ sao cho hai bộ $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ và $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ thuộc cùng một tập khi và chỉ khi $a_{1} \equiv k a_{2}, b_{1} \equiv k b_{2}, c_{1} \equiv k c_{2} \pmod{p}$ với một $k \in \{1,2,3, \ldots, p-1\}$ nào đó.
3. Với $1 \leq i, j \leq p^{2}+p+1$, nếu tồn tại $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) \in S_{i}$ và $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) \in S_{j}$ sao cho $a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2} \equiv 0 \pmod{p}$ thì ta tô màu ô $(i, j)$ của bảng. Chứng minh rằng cách tô này là đẹp và có đúng $k_{\text{max}}$ ô được tô màu.
1. Gọi $k$ là số ô được tô màu trong một cách tô đẹp nào đó. Chứng minh rằng $k \leq (p+1)(p^{2}+p+1)$. Kí hiệu số này là $k_{\text{max}}$.
2. Chứng minh rằng tất cả các bộ có thứ tự $(a, b, c)$ với $0 \leq a, b, c \lt p$ và $a+b+c\gt 0$ có thể được phân hoạch thành $p^{2}+p+1$ tập $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{p^{2}+p+1}$ sao cho hai bộ $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ và $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ thuộc cùng một tập khi và chỉ khi $a_{1} \equiv k a_{2}, b_{1} \equiv k b_{2}, c_{1} \equiv k c_{2} \pmod{p}$ với một $k \in \{1,2,3, \ldots, p-1\}$ nào đó.
3. Với $1 \leq i, j \leq p^{2}+p+1$, nếu tồn tại $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) \in S_{i}$ và $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) \in S_{j}$ sao cho $a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2} \equiv 0 \pmod{p}$ thì ta tô màu ô $(i, j)$ của bảng. Chứng minh rằng cách tô này là đẹp và có đúng $k_{\text{max}}$ ô được tô màu.