Câu hỏi 67
Cho $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm số liên tục sao cho $f((1-t)x + ty) \le \max\{f(x), f(y)\}$ với mọi $t, x, y \in [0, 1]$, và đặt $m = \inf_{0 \le x \le 1} f(x)$. Chứng minh rằng:
a) tập hợp $\{x \mid 0 \le x \le 1, f(x) = m\}$ là một đoạn;
b) nếu $f(0) = 0$, $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 0$ và $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm số không giảm thì
$$
\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx \ge 0.
$$
a) tập hợp $\{x \mid 0 \le x \le 1, f(x) = m\}$ là một đoạn;
b) nếu $f(0) = 0$, $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 0$ và $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm số không giảm thì
$$
\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx \ge 0.
$$