Câu hỏi 148
Trên mặt phẳng tọa độ có hai điểm cố định $B(-1, 0)$, $C(1, 0)$. Một tập con khác rỗng và bị chặn $S$ của mặt phẳng được gọi là một "tập tốt" nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) tồn tại một điểm $T$ trong $S$ sao cho với mọi điểm $Q$ trong $S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$;
(ii) với mọi tam giác $P_1P_2P_3$, đều tìm được duy nhất một điểm $A$ trong $S$ và một hoán vị $\sigma$ của tập $\{1, 2, 3\}$ sao cho tam giác $ABC$ đồng dạng với $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$.
Chứng minh rằng trong tập $\{(x, y): x \ge 0, y \ge 0\}$ tồn tại hai tập tốt khác nhau $S, S'$ sao cho: nếu $A \in S$ và $A' \in S'$ là các lựa chọn duy nhất thỏa mãn điều kiện (ii) thì tích $BA \cdot BA'$ là một hằng số không phụ thuộc vào tam giác $P_1P_2P_3$.
(i) tồn tại một điểm $T$ trong $S$ sao cho với mọi điểm $Q$ trong $S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$;
(ii) với mọi tam giác $P_1P_2P_3$, đều tìm được duy nhất một điểm $A$ trong $S$ và một hoán vị $\sigma$ của tập $\{1, 2, 3\}$ sao cho tam giác $ABC$ đồng dạng với $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$.
Chứng minh rằng trong tập $\{(x, y): x \ge 0, y \ge 0\}$ tồn tại hai tập tốt khác nhau $S, S'$ sao cho: nếu $A \in S$ và $A' \in S'$ là các lựa chọn duy nhất thỏa mãn điều kiện (ii) thì tích $BA \cdot BA'$ là một hằng số không phụ thuộc vào tam giác $P_1P_2P_3$.