Câu hỏi 134
$\{a_n\}_{n \ge 0}$ là một cấp số cộng vô hạn các số nguyên với công sai $d$, trong đó số hạng đầu thỏa mãn $1 \le a_0 \le d$. Gọi dãy này là $S_0$; ta định nghĩa một dãy các dãy mới theo cách truy hồi: dãy $S_{n+1}$ nhận được từ $S_n$ qua hai bước sau:
Bước 1. Gọi $b_n$ là số hạng đầu của $S_n$. Bỏ số hạng đầu đi và dời mọi số hạng còn lại lên trước một vị trí.
Bước 2. Bắt đầu từ số hạng đầu mới, cộng thêm 1 vào $b_n$ số hạng đầu tiên của dãy.
Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c$ sao cho $b_n = [ca_n]$ với mọi $n \ge 0$. Ở đây $[\cdot]$ ký hiệu phần nguyên (hàm sàn).
Bước 1. Gọi $b_n$ là số hạng đầu của $S_n$. Bỏ số hạng đầu đi và dời mọi số hạng còn lại lên trước một vị trí.
Bước 2. Bắt đầu từ số hạng đầu mới, cộng thêm 1 vào $b_n$ số hạng đầu tiên của dãy.
Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c$ sao cho $b_n = [ca_n]$ với mọi $n \ge 0$. Ở đây $[\cdot]$ ký hiệu phần nguyên (hàm sàn).