Câu hỏi 99
Cho $B = (-1, 0)$ và $C = (1, 0)$ là các điểm cố định trong mặt phẳng. Một tập con khác rỗng, bị chặn $S$ của mặt phẳng được gọi là "đẹp" nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại một điểm $T$ thuộc $S$ sao cho với mọi điểm khác $Q$ thuộc $S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$.
(ii) Với mọi tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, tồn tại duy nhất một điểm $A$ thuộc $S$ và một hoán vị $\sigma$ của $\{1,2,3\}$ sao cho các tam giác $ABC$ và $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập con đẹp khác nhau $S$ và $S'$ của tập $\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0\}$ có tính chất sau: tích $BA \cdot BA'$ không phụ thuộc vào cách chọn tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, trong đó $A \in S$ và $A' \in S'$ là các điểm duy nhất trong (ii) ứng với một tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$ bất kỳ.
(i) Tồn tại một điểm $T$ thuộc $S$ sao cho với mọi điểm khác $Q$ thuộc $S$, đoạn thẳng $TQ$ nằm hoàn toàn trong $S$.
(ii) Với mọi tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, tồn tại duy nhất một điểm $A$ thuộc $S$ và một hoán vị $\sigma$ của $\{1,2,3\}$ sao cho các tam giác $ABC$ và $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập con đẹp khác nhau $S$ và $S'$ của tập $\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0\}$ có tính chất sau: tích $BA \cdot BA'$ không phụ thuộc vào cách chọn tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, trong đó $A \in S$ và $A' \in S'$ là các điểm duy nhất trong (ii) ứng với một tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$ bất kỳ.