Câu hỏi 142
Cho $n$ là số nguyên dương, và đặt $S_n = \{1, 2, \dots, n\}$. Xét một tập con khác rỗng $T$ của $S_n$. Ta nói $T$ là cân bằng nếu trung vị của $T$ bằng trung bình cộng của $T$. Ví dụ, với $n = 9$, mỗi tập con $\{7\}$, $\{2, 5\}$, $\{2, 3, 4\}$, $\{5, 6, 8, 9\}$ và $\{1, 4, 5, 7, 8\}$ đều cân bằng; tuy nhiên các tập con $\{2, 4, 5\}$ và $\{1, 2, 3, 5\}$ không cân bằng. Với mỗi $n \ge 1$, chứng minh rằng số tập con cân bằng của $S_n$ là số lẻ.
(Để định nghĩa trung vị của một tập gồm $k$ số, trước hết sắp các số theo thứ tự tăng dần; khi đó trung vị là số ở giữa nếu $k$ lẻ, và là trung bình cộng của hai số ở giữa nếu $k$ chẵn. Ví dụ, trung vị của $\{1, 3, 4, 8, 9\}$ là $4$, và trung vị của $\{1, 3, 4, 7, 8, 9\}$ là $(4+7)/2 = 5{,}5$.)
(Để định nghĩa trung vị của một tập gồm $k$ số, trước hết sắp các số theo thứ tự tăng dần; khi đó trung vị là số ở giữa nếu $k$ lẻ, và là trung bình cộng của hai số ở giữa nếu $k$ chẵn. Ví dụ, trung vị của $\{1, 3, 4, 8, 9\}$ là $4$, và trung vị của $\{1, 3, 4, 7, 8, 9\}$ là $(4+7)/2 = 5{,}5$.)