Câu hỏi 131
Một dãy số thực $x_{n}$ là một danh sách có thứ tự các số thực, trong đó số thứ nhất của danh sách là số hạng $x_{1}$, số thứ hai là số hạng $x_{2}$, và cứ thế tiếp tục. Ví dụ, dãy các số nguyên dương thông thường có thể mô tả bởi $x_{n}=n$ với mọi số nguyên dương $n$. Một số dãy có thể được xác định bởi các phương trình truy hồi, trong đó một số hạng được xác định như một hàm của các số hạng đứng trước.
Ví dụ, dãy các số nguyên dương có thể được xác định bởi $x_{1}=1$ và $x_{n}=x_{n-1}+1$ với mọi số nguyên dương $n \geq 2$. Bằng cách đó, ta có thể tính $x_{2}=1+1=2$, $x_{3}=2+1=3$, và cứ thế tiếp tục.
Xét dãy số thực xác định bởi $x_{1}=1$ và $x_{n}=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}}$ với mọi số nguyên dương $n \geq 2$.
a) Tính $x_{2}, x_{3}$ và $x_{4}$.
b) Kiểm tra rằng dãy số tăng ngặt, tức là $x_{n}\gt x_{n-1}$ với mọi số nguyên dương $n$.
c) Nhận thấy dãy số dường như tăng rất chậm. Sau khi tính vài số hạng đầu, ta có thể ngờ rằng không có số hạng nào vượt quá 2016, nhưng thực ra ta sẽ chứng minh rằng có những số hạng lớn hơn 2016. Để làm điều đó, ta sẽ dùng dãy phụ $y_{n}=x_{n}^{3}$. Chứng minh rằng $y_{n}\gt y_{n-1}+3$ với mọi $n \geq 2$.
d) Chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho $x_{N}\gt 2016$.
Ví dụ, dãy các số nguyên dương có thể được xác định bởi $x_{1}=1$ và $x_{n}=x_{n-1}+1$ với mọi số nguyên dương $n \geq 2$. Bằng cách đó, ta có thể tính $x_{2}=1+1=2$, $x_{3}=2+1=3$, và cứ thế tiếp tục.
Xét dãy số thực xác định bởi $x_{1}=1$ và $x_{n}=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}}$ với mọi số nguyên dương $n \geq 2$.
a) Tính $x_{2}, x_{3}$ và $x_{4}$.
b) Kiểm tra rằng dãy số tăng ngặt, tức là $x_{n}\gt x_{n-1}$ với mọi số nguyên dương $n$.
c) Nhận thấy dãy số dường như tăng rất chậm. Sau khi tính vài số hạng đầu, ta có thể ngờ rằng không có số hạng nào vượt quá 2016, nhưng thực ra ta sẽ chứng minh rằng có những số hạng lớn hơn 2016. Để làm điều đó, ta sẽ dùng dãy phụ $y_{n}=x_{n}^{3}$. Chứng minh rằng $y_{n}\gt y_{n-1}+3$ với mọi $n \geq 2$.
d) Chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho $x_{N}\gt 2016$.