Câu hỏi 125
Một bất đẳng thức đơn giản nhưng rất hữu ích là $x^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x$. Để chứng minh nó, chỉ cần xét riêng các khả năng: $x\gt 0, x\lt 0$ hoặc $x=0$. Thật vậy, một số thực dương nhân với một số thực dương là số dương, một số thực âm nhân với một số thực âm khác cũng là số dương và, cuối cùng, $0 \cdot 0=0$. Từ bất đẳng thức này ta có thể suy ra những bất đẳng thức khác không quá sơ cấp. Ví dụ, với mọi số thực $x$ và $y$ ta có $x^{2}+x y+y^{2} \geq 0$, vì
$$
\begin{aligned}
x^{2}+x y+y^{2} & =\left(x^{2}+\frac{2 x y}{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)+3\left(\frac{y^{2}}{4}\right) \\
& =\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \\
& \geq 0
\end{aligned}
$$
Trong bất đẳng thức cuối ta đã dùng $\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0$ và $\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0$.
Bây giờ ta xem một ứng dụng của các bất đẳng thức này. Cho $a$ và $b$ là các số thực sao cho $a^{3}-b^{3}=2$ và $a^{5}-b^{5} \geq 4$.
a. Biết rằng với mọi số thực $x$ và $y$ ta có $x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$, chứng minh rằng $a\gt b$.
b. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2} \geq 2$.
$$
\begin{aligned}
x^{2}+x y+y^{2} & =\left(x^{2}+\frac{2 x y}{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)+3\left(\frac{y^{2}}{4}\right) \\
& =\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \\
& \geq 0
\end{aligned}
$$
Trong bất đẳng thức cuối ta đã dùng $\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0$ và $\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0$.
Bây giờ ta xem một ứng dụng của các bất đẳng thức này. Cho $a$ và $b$ là các số thực sao cho $a^{3}-b^{3}=2$ và $a^{5}-b^{5} \geq 4$.
a. Biết rằng với mọi số thực $x$ và $y$ ta có $x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$, chứng minh rằng $a\gt b$.
b. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2} \geq 2$.