Câu hỏi 121
Một phân hoạch của Tập các Số Tự nhiên là một họ các tập hợp $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$ sao cho mỗi số tự nhiên thuộc đúng một tập trong số đó. Lưu ý rằng trong mọi phân hoạch của Tập các Số Tự nhiên, có ít nhất một tập là vô hạn, vì nếu không thì Tập các Số Tự nhiên sẽ là hợp của hữu hạn tập hữu hạn và do đó là tập hữu hạn. Một ví dụ về phân hoạch Tập các Số Tự nhiên là lấy $A_{1}$ là tập tất cả các số tự nhiên chẵn và $A_{2}$ là tập tất cả các số tự nhiên lẻ. Có nhiều phân hoạch khác nhau, và hai ý sau đây là các sự kiện tổng quát có thể kiểm chứng trong mọi phân hoạch như vậy.
a) Giải thích vì sao, với mỗi số nguyên dương $x$ cố định, luôn có một tập $A_{i}$ chứa vô số bội của $x$.
b) Theo ý trước, với hai số nguyên dương $p$ và $q$, có một tập của phân hoạch chứa vô số bội của $p$ và một tập khác chứa vô số bội của $q$. Tuy nhiên, hai tập này không nhất thiết trùng nhau. Bây giờ hãy chứng minh rằng luôn có một tập $A_{i}$ chứa vô số bội của mọi số nguyên dương.
a) Giải thích vì sao, với mỗi số nguyên dương $x$ cố định, luôn có một tập $A_{i}$ chứa vô số bội của $x$.
b) Theo ý trước, với hai số nguyên dương $p$ và $q$, có một tập của phân hoạch chứa vô số bội của $p$ và một tập khác chứa vô số bội của $q$. Tuy nhiên, hai tập này không nhất thiết trùng nhau. Bây giờ hãy chứng minh rằng luôn có một tập $A_{i}$ chứa vô số bội của mọi số nguyên dương.