Câu hỏi 103
Đường trung trực của đoạn thẳng $X Y$ là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Tính chất chính của đường trung trực là: một điểm nằm trên nó khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm đó đến $X$ bằng khoảng cách từ điểm đó đến $Y$. Một mệnh đề có dạng "khi và chỉ khi" tương đương với hai phép kéo theo. Trong trường hợp này, để kiểm chứng mệnh đề trên, một mặt ta cần chỉ ra rằng nếu khoảng cách đến $X$ bằng khoảng cách đến $Y$ thì điểm đó nằm trên đường trung trực. Mặt khác, ta cần chỉ ra rằng nếu một điểm nằm trên đường trung trực thì khoảng cách từ nó đến $X$ và $Y$ bằng nhau. Để chứng minh phần thứ nhất, xét điểm $P$ sao cho $P X=P Y$ và gọi $M$ là trung điểm của $X Y$.
Các tam giác $P M X$ và $P M Y$ bằng nhau vì ba cạnh tương ứng có độ dài bằng nhau. Do đó $\angle P M X=\angle P M Y$. Vì $X, M$ và $Y$ thẳng hàng nên $\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}$. Suy ra $\angle P M X=90^{\circ}$ và $P$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
a) Chứng minh phần thứ hai của mệnh đề, tức là chứng minh rằng nếu $P$ là một điểm nằm trên đường trung trực của $X Y$ thì $P X=P Y$.
b) Chứng minh rằng mọi tam giác $A B C$ đều có một điểm $O$ trong cùng mặt phẳng sao cho $O A=O B=O C$. Điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, vì đường tròn tâm $O$ bán kính $A O$ đi qua ba đỉnh của tam giác $A B C$.
c) Xét tứ giác $A B C D$. Giả sử các đường trung trực của $A B, A C$ và $A D$ đồng quy, tức là cả ba cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua 4 đỉnh của tứ giác $A B C D$.
Các tam giác $P M X$ và $P M Y$ bằng nhau vì ba cạnh tương ứng có độ dài bằng nhau. Do đó $\angle P M X=\angle P M Y$. Vì $X, M$ và $Y$ thẳng hàng nên $\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}$. Suy ra $\angle P M X=90^{\circ}$ và $P$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
a) Chứng minh phần thứ hai của mệnh đề, tức là chứng minh rằng nếu $P$ là một điểm nằm trên đường trung trực của $X Y$ thì $P X=P Y$.
b) Chứng minh rằng mọi tam giác $A B C$ đều có một điểm $O$ trong cùng mặt phẳng sao cho $O A=O B=O C$. Điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, vì đường tròn tâm $O$ bán kính $A O$ đi qua ba đỉnh của tam giác $A B C$.
c) Xét tứ giác $A B C D$. Giả sử các đường trung trực của $A B, A C$ và $A D$ đồng quy, tức là cả ba cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua 4 đỉnh của tứ giác $A B C D$.