Câu hỏi 100
Ta muốn phủ một bảng ô vuông bằng một số mảnh nhỏ sao cho các mảnh không chồng lên nhau và không có phần nào của chúng nằm ngoài bảng. Ta sẽ dùng các mảnh ghép từ các ô vuông đơn vị, gọi là L-triminô và I-triminô, có thể xoay theo các vị trí như trong hình sau.
Để chứng minh một cách phủ là khả thi, chỉ cần chỉ ra một cách đặt các mảnh. Ngược lại, để chứng minh một cách phủ nào đó là không thể, không phải lúc nào cũng tiện thử mọi cấu hình có thể của các mảnh, và ta thường cần những lập luận khéo léo. Ví dụ, ta sẽ chứng minh rằng không thể phủ bảng $3 \times 3$ chỉ bằng các L-triminô.
Hãy quan sát các ô được tô màu trong hình. Có 4 ô và không thể phủ hai ô trong số đó bằng cùng một L-triminô. Do đó, để phủ 4 ô này ta phải dùng ít nhất $4$ L-triminô, nhưng như vậy sẽ phủ $4 \cdot 3=12$ ô, rõ ràng vượt quá tổng số 9 ô của cả bảng. Vậy không thể phủ bảng $3 \times 3$ bằng các L-triminô.
a) Hãy chỉ ra một cách phủ bảng $3 \times 4$ chỉ bằng các L-triminô.
b) Chứng minh rằng không thể phủ bảng $3 \times 5$ chỉ bằng các L-triminô.
c) Có thể phủ bảng $3 \times 5$ bằng đúng một I-triminô và một số L-triminô. Hãy xác định các vị trí mà I-triminô có thể chiếm sao cho phần còn lại của bảng có thể được phủ bằng các L-triminô.
Để chứng minh một cách phủ là khả thi, chỉ cần chỉ ra một cách đặt các mảnh. Ngược lại, để chứng minh một cách phủ nào đó là không thể, không phải lúc nào cũng tiện thử mọi cấu hình có thể của các mảnh, và ta thường cần những lập luận khéo léo. Ví dụ, ta sẽ chứng minh rằng không thể phủ bảng $3 \times 3$ chỉ bằng các L-triminô.
Hãy quan sát các ô được tô màu trong hình. Có 4 ô và không thể phủ hai ô trong số đó bằng cùng một L-triminô. Do đó, để phủ 4 ô này ta phải dùng ít nhất $4$ L-triminô, nhưng như vậy sẽ phủ $4 \cdot 3=12$ ô, rõ ràng vượt quá tổng số 9 ô của cả bảng. Vậy không thể phủ bảng $3 \times 3$ bằng các L-triminô.
a) Hãy chỉ ra một cách phủ bảng $3 \times 4$ chỉ bằng các L-triminô.
b) Chứng minh rằng không thể phủ bảng $3 \times 5$ chỉ bằng các L-triminô.
c) Có thể phủ bảng $3 \times 5$ bằng đúng một I-triminô và một số L-triminô. Hãy xác định các vị trí mà I-triminô có thể chiếm sao cho phần còn lại của bảng có thể được phủ bằng các L-triminô.