Câu hỏi 162
Cho $a$ là một số thực thuộc $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$. Xét hai dãy số $(u_n), (v_n), (n = 0, 1, \dots)$, xác định bởi:
$$
u_n = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot (-1)^{\lfloor 2^{n+1}a \rfloor}, \quad v_n = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot (-1)^{n+\lfloor 2^{n+1}a \rfloor}.$$
a. Chứng minh rằng
$$
\left(\sum_{i=0}^{2018} u_i\right)^2 + \left(\sum_{i=0}^{2018} v_i\right)^2 \le 72a^2 - 48a + 10 + \frac{2}{4^{2019}}.
$$
b. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dấu bằng xảy ra.
$$
u_n = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot (-1)^{\lfloor 2^{n+1}a \rfloor}, \quad v_n = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot (-1)^{n+\lfloor 2^{n+1}a \rfloor}.$$
a. Chứng minh rằng
$$
\left(\sum_{i=0}^{2018} u_i\right)^2 + \left(\sum_{i=0}^{2018} v_i\right)^2 \le 72a^2 - 48a + 10 + \frac{2}{4^{2019}}.
$$
b. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dấu bằng xảy ra.