MathNet 2018-part-06 — 181 bài (EN–VI) Câu hỏi 166

Một số nguyên $c$ được gọi là thân thiện với bình phương nếu nó có tính chất sau: Với mọi số nguyên $m$, số $m^{2}+18 m+c$ là một số chính phương. (Số chính phương là số có dạng $n^{2}$, trong đó $n$ là số nguyên. Chẳng hạn, $49=7^{2}$ là số chính phương còn $46$ không phải là số chính phương. Ngoài ra, ví dụ, $6$ không thân thiện với bình phương vì với $m=2$, ta có $(2)^{2}+(18)(2)+6=46$, và $46$ không phải là số chính phương.)

Thực ra, có đúng một số nguyên thân thiện với bình phương. Hãy chứng minh điều này bằng cách làm như sau:

a. Tìm một số nguyên thân thiện với bình phương và chứng minh rằng nó thân thiện với bình phương.

b. Chứng minh rằng không thể có hai số nguyên thân thiện với bình phương khác nhau.