Câu hỏi 23
Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$. Một khối lập phương lớn $n \times n \times n$ được ghép từ $n^3$ khối lập phương nhỏ cạnh $1$. Mỗi khối lập phương nhỏ được sơn một màu. Từ khối lập phương lớn này, ta cắt theo phương trục $x$ ra $n$ khối hộp chữ nhật $1 \times n \times n$ khác nhau $R_1, R_2, \cdots, R_n$. Gọi $C_i$ là tập các màu của tất cả các khối nhỏ trong $R_i$, và đặt $\mathcal{X} = \{C_1, C_2, \cdots, C_n\}$. Theo cách tương tự, gọi $\mathcal{Y}$ là tập thu được khi cắt các khối hộp $n \times 1 \times n$ theo phương trục $y$, và $\mathcal{Z}$ là tập thu được khi cắt các khối hộp $n \times n \times 1$ theo phương trục $z$.
Giả sử ta biết rằng, đối với $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ và $\mathcal{Z}$, nếu một tập màu thuộc một trong ba tập đó thì nó cũng thuộc hai tập còn lại. Tìm giá trị lớn nhất của tổng số màu của $n^3$ khối lập phương nhỏ này (biểu diễn theo $n$).
(Ví dụ: nếu $R_1$ chứa ba màu đỏ, xanh dương, xanh lá thì $C_1 = \{\text{đỏ, xanh dương, xanh lá}\}$.)
Giả sử ta biết rằng, đối với $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ và $\mathcal{Z}$, nếu một tập màu thuộc một trong ba tập đó thì nó cũng thuộc hai tập còn lại. Tìm giá trị lớn nhất của tổng số màu của $n^3$ khối lập phương nhỏ này (biểu diễn theo $n$).
(Ví dụ: nếu $R_1$ chứa ba màu đỏ, xanh dương, xanh lá thì $C_1 = \{\text{đỏ, xanh dương, xanh lá}\}$.)