Câu hỏi 153
Cho $f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ là một hàm khả tích, và $(a_{n})_{n \geq 1}$ là một dãy số thực dương thực sự thỏa mãn $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$.
a) Với $A=\{m \cdot a_{n} \mid m, n \in \mathbb{N}^{*}\}$, chứng minh rằng mọi khoảng mở gồm các số dương thực sự đều chứa phần tử của $A$.
b) Giả sử với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ và mọi $x, y \in [a, b]$ thỏa mãn $|x-y|=a_{n}$ đều có bất đẳng thức $\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq |x-y|$. Chứng minh rằng:
$$
\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq |x-y|, \quad \forall x, y \in [a, b]
$$
a) Với $A=\{m \cdot a_{n} \mid m, n \in \mathbb{N}^{*}\}$, chứng minh rằng mọi khoảng mở gồm các số dương thực sự đều chứa phần tử của $A$.
b) Giả sử với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ và mọi $x, y \in [a, b]$ thỏa mãn $|x-y|=a_{n}$ đều có bất đẳng thức $\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq |x-y|$. Chứng minh rằng:
$$
\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq |x-y|, \quad \forall x, y \in [a, b]
$$