MathNet 2018-part-04 — 181 bài (EN–VI)

Có bao nhiêu bộ bốn có thứ tự $(a, b, c, d)$ gồm các số nguyên dương lẻ thỏa mãn phương trình $a + b + c + 2d = 15$?

Trong tam giác $ABC$, $AB = 6$, $BC = 10$ và $CA = 14$. Nếu $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$, hãy tính $AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}$.

Có bao nhiêu cách xếp 5 quả bóng đỏ giống nhau và 5 quả bóng xanh giống nhau thành một hàng sao cho trong cách xếp không có ba quả bóng xanh trở lên đứng liên tiếp?

Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn hệ sau:
$$
\begin{aligned}
x+3y+6z &= 1 \\
xy+2xz+6yz &= -8 \\
xyz &= 2
\end{aligned}
$$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $x+y+z$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ($\angle C = 90^\circ$), $BC = 10$ và $AC = 15$. Hai hình vuông được nội tiếp trong tam giác $ABC$ như trong hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai hình vuông.

Cho $P(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất sao cho $P(k) = \dfrac{720 k}{k^{2} - 1}$ với $k \in \{2, 3, 4, 5\}$. Tính giá trị của $P(6)$.

Một đường thẳng đi qua $(k, -9)$ và $(7, 3k)$ và có hệ số góc $2k$. Tìm các giá trị có thể của $k$.

Cho $\triangle ABC$ là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $AB = 6$ và $BC = 8$. Gọi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$. Tính tổng $R$ và $r$.

Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái của từ $C H I E F$ sao cho $I$ xuất hiện ở một vị trí nào đó sau $E$?

Ta nói hằng số $a$ là một điểm bất động của hàm số $f$ nếu $f(a)=a$. Tìm tất cả các giá trị của $c$ sao cho $f(x)=x^{2}-2$ và $g(x)=2x^{2}-c$ có chung một điểm bất động.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a, b)$, cả hai đều không vượt quá $10$, sao cho $a \leq \operatorname{gcd}(a, b) \leq b$ và $a \leq \operatorname{lcm}(a, b) \leq b$?

Giả sử $\log_{a} 125 = \log_{5} 3$ và $\log_{b} 16 = \log_{4} 7$. Tính giá trị của $a^{\left(\log_{5} 3\right)^{2}} - b^{\left(\log_{4} 7\right)^{2}}$.

Rút ngẫu nhiên hai lá bài, không hoàn lại, từ một bộ 50 lá bài được đánh số $1,2,3, \ldots, 50$. Xác suất để tích các số trên hai lá bài này chia hết cho 7 là bao nhiêu?

Một tam giác có độ dài các cạnh $24, 70, 74$ nội tiếp một đường tròn. Tìm hiệu giữa giá trị số của diện tích và chu vi của đường tròn, biểu diễn theo $\pi$.

Tìm các số thực dương $x$ và $y$ nhỏ nhất sao cho $x^{2} - 3x + 2.5 = \sin y - 0.75$.

Một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá có 4 chất và 13 giá trị (hạng) thông thường. Xác suất để hai lá bài được chọn ngẫu nhiên, không hoàn lại, từ bộ bài này có cùng giá trị hoặc cùng chất là bao nhiêu?

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên thỏa mãn $\frac{a}{2} + \frac{b}{1009} = \frac{1}{2018}$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $|a b|$.

Cho $x$ là số thực thỏa mãn $x^{2}-\sqrt{6} x+1=0$. Tìm giá trị số của $\left|x^{4}-\frac{1}{x^{4}}\right|$.

Phân tích $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-120$ hoàn toàn thành nhân tử với các hệ số nguyên.

Giả sử trong một chiếc bình có 3 quả bóng xanh lá phân biệt, 4 quả bóng đỏ phân biệt và 5 quả bóng xanh dương phân biệt. Các quả bóng được chia thành từng cặp sao cho hai quả bóng trong mỗi cặp có màu khác nhau. Có thể tạo được bao nhiêu bộ gồm sáu cặp như vậy?