Câu hỏi 148
Với mọi số tự nhiên khác không $n$ và mọi ma trận cột
$$
\mathbf{X} = \left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})
$$
ta ký hiệu $\delta(\mathbf{X})$ là ước chung lớn nhất của các số $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Cho $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, và $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau là tương đương:
(a) $|\operatorname{det} \mathbf{A}|=1$ và
(b) $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, với mọi $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$.
(Ước chung lớn nhất của các số nguyên là một số tự nhiên.)
$$
\mathbf{X} = \left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})
$$
ta ký hiệu $\delta(\mathbf{X})$ là ước chung lớn nhất của các số $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Cho $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, và $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau là tương đương:
(a) $|\operatorname{det} \mathbf{A}|=1$ và
(b) $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, với mọi $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$.
(Ước chung lớn nhất của các số nguyên là một số tự nhiên.)