Câu hỏi 143
Cho $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ là một hàm khả tích, và $(a_n)_{n \ge 1}$ là một dãy số thực dương thỏa mãn $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
a) Với $A = \{m \cdot a_n \mid m, n \in \mathbb{N}^*\}$, chứng minh rằng mọi khoảng mở gồm các số thực dương đều chứa phần tử của tập $A$.
b) Nếu với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ và mọi $x, y \in [a, b]$ thỏa mãn $|x - y| = a_n$, bất đẳng thức
$$
\left| \int_x^y f(t) \, dt \right| \le |x - y|
$$
được thỏa mãn, chứng minh rằng:
$$
\left| \int_x^y f(t) \, dt \right| \le |x - y|, \quad \forall x, y \in [a, b].
$$
a) Với $A = \{m \cdot a_n \mid m, n \in \mathbb{N}^*\}$, chứng minh rằng mọi khoảng mở gồm các số thực dương đều chứa phần tử của tập $A$.
b) Nếu với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ và mọi $x, y \in [a, b]$ thỏa mãn $|x - y| = a_n$, bất đẳng thức
$$
\left| \int_x^y f(t) \, dt \right| \le |x - y|
$$
được thỏa mãn, chứng minh rằng:
$$
\left| \int_x^y f(t) \, dt \right| \le |x - y|, \quad \forall x, y \in [a, b].
$$