Câu hỏi 137
Với mọi số nguyên dương $n$ và mọi ma trận cột
$$
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z}),
$$
ta ký hiệu $\delta(X)$ là ước chung lớn nhất của các số $x_1, x_2, \dots, x_n$. Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, và $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:
a) $|\det A| = 1$ và
b) $\delta(AX) = \delta(X)$, với mọi $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z})$.
$$
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z}),
$$
ta ký hiệu $\delta(X)$ là ước chung lớn nhất của các số $x_1, x_2, \dots, x_n$. Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, và $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:
a) $|\det A| = 1$ và
b) $\delta(AX) = \delta(X)$, với mọi $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z})$.