Câu hỏi 55
Lưới vô hạn các đường thẳng dạng $\mathbb{R} \times \{m\}$ và $\{m\} \times \mathbb{R}$, với $m$ chạy qua mọi số nguyên, chia mặt phẳng Euclid $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ thành các ô $1 \times 1$. Gọi $S$ là hợp (theo nghĩa tập hợp) của hữu hạn ô như vậy, và cho $a$ là số thực dương nhỏ hơn hoặc bằng $1/4$. Chứng minh rằng $S$ có thể được phủ bởi hữu hạn hình vuông thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
(1) Mỗi hình vuông trong phép phủ là một bảng gồm các ô $1 \times 1$;
(2) Các hình vuông trong phép phủ có phần trong đôi một rời nhau; và
(3) Với mỗi hình vuông $Q$ trong phép phủ, tỉ số giữa diện tích của $S \cap Q$ và diện tích của $Q$ không nhỏ hơn $a$ và không lớn hơn $a\lfloor a^{-1/2} \rfloor^2$.
(1) Mỗi hình vuông trong phép phủ là một bảng gồm các ô $1 \times 1$;
(2) Các hình vuông trong phép phủ có phần trong đôi một rời nhau; và
(3) Với mỗi hình vuông $Q$ trong phép phủ, tỉ số giữa diện tích của $S \cap Q$ và diện tích của $Q$ không nhỏ hơn $a$ và không lớn hơn $a\lfloor a^{-1/2} \rfloor^2$.