Câu hỏi 57
Gọi $\mathbb{Z}[x]$ là tập các đa thức với hệ số nguyên. Cho $q$ là một số nguyên tố. Một đa thức $P \in \mathbb{Z}[x]$ được gọi là **q-khả quy** nếu tồn tại $f_q, g_q \in \mathbb{Z}[x]$ sao cho mỗi đa thức $f_q, g_q$ có ít nhất một hệ số của số hạng khác hằng không chia hết cho $q$, và mọi hệ số của đa thức $Q(x) = P(x) - f_q(x)g_q(x)$ đều chia hết cho $q$.
a. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $q$ sao cho đa thức sau là $q$-khả quy
$$
P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 5
$$
b. Có tồn tại hay không một đa thức $P \in \mathbb{Z}[x]$ là $q$-khả quy với mọi số nguyên tố $q$ nhưng bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$?
a. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $q$ sao cho đa thức sau là $q$-khả quy
$$
P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 5
$$
b. Có tồn tại hay không một đa thức $P \in \mathbb{Z}[x]$ là $q$-khả quy với mọi số nguyên tố $q$ nhưng bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$?