Câu hỏi 56
Cho $P(z) = a_d z^d + a_{d-1} z^{d-1} + \dots + a_1 z + a_0$ là một đa thức với hệ số phức; **đa thức đảo** của đa thức này được định nghĩa là
$$
P^*(z) = \overline{a_0}z^d + \overline{a_1}z^{d-1} + \dots + \overline{a_d}
$$
a. Chứng minh rằng
$$
P^*(z) = z^d \overline{P\left(\frac{1}{z}\right)}
$$
b. Cho $m$ là một số nguyên dương. Cho $q(z)$ là một đa thức monic khác hằng có tất cả các nghiệm nằm trên đường tròn đơn vị hoặc bên trong đường tròn đơn vị. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức
$$
Q(z) = z^m q(z) + q^*(z)
$$
đều nằm **trên** đường tròn đơn vị.
$$
P^*(z) = \overline{a_0}z^d + \overline{a_1}z^{d-1} + \dots + \overline{a_d}
$$
a. Chứng minh rằng
$$
P^*(z) = z^d \overline{P\left(\frac{1}{z}\right)}
$$
b. Cho $m$ là một số nguyên dương. Cho $q(z)$ là một đa thức monic khác hằng có tất cả các nghiệm nằm trên đường tròn đơn vị hoặc bên trong đường tròn đơn vị. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức
$$
Q(z) = z^m q(z) + q^*(z)
$$
đều nằm **trên** đường tròn đơn vị.