Câu hỏi 160
Ta nói một tập $B$ các số nguyên là một đoạn số nguyên nếu tồn tại các số nguyên $i \leqslant j$ sao cho $B=\{i, i+1, \ldots, j\}$, và kí hiệu $\mathcal{J}$ là tập các đoạn số nguyên. Ngoài ra, nếu $A=\{a_1, \ldots, a_k\}$ là một tập các số nguyên, với $a_1 \lt \ldots \lt a_k$, ta đặt
$$
f(A)=\max_{1 \leqslant i \lt k}(a_{i+1}-a_i) \text{ và } g(A)=\max_{B \subseteq A, B \in \mathcal{J}} |B|.
$$
Nhắc lại rằng kí hiệu $|B|$ chỉ số phần tử của tập $B$. Nếu $A$ rỗng hoặc chỉ có một phần tử, ta cũng đặt $f(A)=0$. Cuối cùng, với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, ta định nghĩa
$$
F(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} f(A) \text{ và } G(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} g(A).
$$
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho $F(n) \gt G(n)$ với mọi số nguyên $n \geqslant m$.
$$
f(A)=\max_{1 \leqslant i \lt k}(a_{i+1}-a_i) \text{ và } g(A)=\max_{B \subseteq A, B \in \mathcal{J}} |B|.
$$
Nhắc lại rằng kí hiệu $|B|$ chỉ số phần tử của tập $B$. Nếu $A$ rỗng hoặc chỉ có một phần tử, ta cũng đặt $f(A)=0$. Cuối cùng, với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, ta định nghĩa
$$
F(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} f(A) \text{ và } G(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} g(A).
$$
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho $F(n) \gt G(n)$ với mọi số nguyên $n \geqslant m$.