Câu hỏi 4
Một cây đâm nhánh như sau: cây mọc lên được một năm thì bắt đầu đâm nhánh, sau đó cứ hai năm cây lại đâm ra một nhánh. Quy luật ấy của thân chính cũng được áp dụng cho các nhánh cây mọc ra, tức là mỗi nhánh sau khi mọc ra một năm thì đâm ra một nhánh con và nhánh chính đó cứ hai năm sau lại đâm ra một nhánh. Coi thân chính là một nhánh đặc biệt, tính số nhánh của cây trong năm thứ năm.
Gọi số nhánh trong năm thứ $n$ là $S_n$. Chứng minh rằng
$$S_n=S_{n-1}+S_{n-2}.$$
Gọi $a\gt b$ là hai số thỏa mãn các đẳng thức $a+b=1$ và $ab=-1$. Chứng minh bằng quy nạp rằng
$$S_n=\frac1{\sqrt5}(a^{n+1}-b^{n+1}).$$
Làm rõ chỉ số thời gian: theo công thức đã in, năm đầu chỉ có thân chính ($S_1=1$); nhánh mới đầu tiên xuất hiện cuối năm đó, nên $S_2=2$.
Gọi số nhánh trong năm thứ $n$ là $S_n$. Chứng minh rằng
$$S_n=S_{n-1}+S_{n-2}.$$
Gọi $a\gt b$ là hai số thỏa mãn các đẳng thức $a+b=1$ và $ab=-1$. Chứng minh bằng quy nạp rằng
$$S_n=\frac1{\sqrt5}(a^{n+1}-b^{n+1}).$$
Làm rõ chỉ số thời gian: theo công thức đã in, năm đầu chỉ có thân chính ($S_1=1$); nhánh mới đầu tiên xuất hiện cuối năm đó, nên $S_2=2$.