Gọi $\alpha$ là một góc tùy ý. Hãy xác định giá trị của các biểu thức dưới đây
$$\cos\alpha+\cos\left(\alpha+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\alpha+\frac{4\pi}{3}\right).$$
Vẽ đường biểu diễn của các hàm số dưới đây
$$u=\sqrt{(x^2-1)^2}\qquad\&\qquad y=x+\sqrt{(x^2-1)^2}.$$
Trong đó $x\in\mathbb R$. Biện luận số nghiệm của phương trình
$$x+\sqrt{(x^2-1)^2}=m$$
tùy theo giá trị của tham số $m$.
Từ một điểm $O$ nằm ngoài một mặt phẳng $(P)$, ta hạ các đường vuông góc $OH$ xuống các đường thẳng của $P$, đi qua một điểm cố định $A$. Hãy xác định quỹ tích $(c)$ của điểm $H$.
Gọi $(C)$ là mặt nón nghiêng có đỉnh tại $O$ và đáy là $(c)$. Chứng minh rằng các mặt phẳng song song với $(P)$ hay vuông góc với $OA$ cắt $(C)$ theo những đường tròn.
$(C)$ có hai mặt đối xứng cắt nó theo hai góc $\alpha,\beta$. Hãy xác định quan hệ giữa $\alpha$ và $\beta$.
Quy ước biên tập: để có đường tròn thực sự và mặt nón không suy biến, $A$ phải khác hình chiếu vuông góc của $O$ lên $P$, và mặt phẳng cắt không được đi qua $O$. “Góc” là góc toàn phần ở đỉnh trong hai mặt phẳng đối xứng chứa trục. Ta gọi góc nhỏ hơn là $\alpha$; nguồn không quy định thứ tự.
Một cây đâm nhánh như sau: cây mọc lên được một năm thì bắt đầu đâm nhánh, sau đó cứ hai năm cây lại đâm ra một nhánh. Quy luật ấy của thân chính cũng được áp dụng cho các nhánh cây mọc ra, tức là mỗi nhánh sau khi mọc ra một năm thì đâm ra một nhánh con và nhánh chính đó cứ hai năm sau lại đâm ra một nhánh. Coi thân chính là một nhánh đặc biệt, tính số nhánh của cây trong năm thứ năm.
Gọi số nhánh trong năm thứ $n$ là $S_n$. Chứng minh rằng
$$S_n=S_{n-1}+S_{n-2}.$$
Gọi $a\gt b$ là hai số thỏa mãn các đẳng thức $a+b=1$ và $ab=-1$. Chứng minh bằng quy nạp rằng
$$S_n=\frac1{\sqrt5}(a^{n+1}-b^{n+1}).$$
Làm rõ chỉ số thời gian: theo công thức đã in, năm đầu chỉ có thân chính ($S_1=1$); nhánh mới đầu tiên xuất hiện cuối năm đó, nên $S_2=2$.