Câu hỏi 178
Cho $n \gt 1$ là một số nguyên dương. Cho hàm số $f: I \rightarrow \mathbb{Z}$, trong đó $I$ là tập hợp tất cả các số nguyên nguyên tố cùng nhau với $n$. ($\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên.) Một số nguyên dương $k$ được gọi là một chu kỳ của hàm số $f$ nếu $f(a) = f(b)$ với mọi $a, b \in I$ thỏa mãn $a \equiv b \pmod{k}$. Biết rằng $n$ là một chu kỳ của $f$. Chứng minh rằng chu kỳ nhỏ nhất của hàm số $f$ chia hết mọi chu kỳ của nó.
Ví dụ. Với $n = 6$, hàm số $f$ có chu kỳ $6$ được xác định hoàn toàn bởi các giá trị $f(1)$ và $f(5)$. Nếu $f(1) = f(5)$ thì hàm số có chu kỳ nhỏ nhất $P_{\min} = 1$, còn nếu $f(1) \neq f(5)$ thì $P_{\min} = 3$.
Ví dụ. Với $n = 6$, hàm số $f$ có chu kỳ $6$ được xác định hoàn toàn bởi các giá trị $f(1)$ và $f(5)$. Nếu $f(1) = f(5)$ thì hàm số có chu kỳ nhỏ nhất $P_{\min} = 1$, còn nếu $f(1) \neq f(5)$ thì $P_{\min} = 3$.